牛顿-莱布尼茨公式的公式应用

1. 牛顿-莱布尼茨公式的公式应用

牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。  牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。

2. 向高手请教牛顿--莱布尼茨公式的推导过程

第一、若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数f(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且
b(上限)∫a（下限）f(x)dx=f(b)-f(a)
这即为牛顿—莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：
第二、对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：
φ(x)=
x∫a*f(x)dx
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
φ(x)=
x∫a*f(t)dt
第三、研究这个函数φ(x)的性质：
1、定义函数φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则φ
’(x)=f(x)。
证明：让函数φ(x)获得增量δx，则对应的函数增量
δφ=φ(x+δx)-φ(x)=x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而δφ=x+δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?δx(ξ在x与x+δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
当δx趋向于0也就是δφ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim
δx→0
δφ/δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=f（b）-f（a），f（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得φ’(x)=f(x)，故φ(x）+c=f（x）
但φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以f（a）=c
于是有φ(x）+f（a）=f（x），当x=b时，φ(b)=f（b)-f(a),
而φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=f（b)-f(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

3. 牛顿-莱布尼茨公式是什么？

4. 牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式
  牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：
  我们知道，对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
  b(上限)∫a（下限）f(x)dx
  现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：
  Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
  但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
  Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
  接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：
  1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。
  证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
  ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
  显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
  而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，
  也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)
  当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
  可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
  2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。
  证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
  但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C
  于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),
  而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
  把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

5. 牛顿布莱尼茨公式是什么 推导过程有哪些

 牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。那么，牛顿布莱尼茨公式是什么呢？下面我整理了一些相关信息，供大家参考！
     
   牛顿布莱尼茨公式   牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：
   若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且
   从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)
   其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.
   牛顿布莱尼茨公式证明过程   证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,
   则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)
   当Δx很小时,
   F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx
   F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx
   ……
   F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx
   所以,
   F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx
   当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)
   牛顿布莱尼茨公式意义   牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
   牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
   牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

6. 牛顿-莱布尼茨公式是什么？

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有：

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

扩展资料推导过程：
如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，
u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)
至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：
(uv)' = u'v + uv'
(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''
…………
最后由科学归纳法可得：

参考资料来源：百度百科—莱布尼茨公式

7. 牛顿-莱布尼茨公式的介绍

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。1牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，21677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。1因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

8. 什么是牛顿-莱布尼茨公式？

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有：

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

扩展资料推导过程：
如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，
u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n)= u(n)± v(n)
至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：
(uv)' = u'v + uv'
(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''
(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''
…………
最后由科学归纳法可得：

参考资料来源：百度百科—莱布尼茨公式